周期延拓 降采样处理为何先滤波后抽取？原因大揭秘

1. 对信号进行下采样时，需要先进行滤波，然后再提取（下采样）。原因解释：

一句话概括就是，提取前如果不进行滤波，就会产生信号混叠，这里的滤波器是抗混叠滤波器。

1. 为什么没有滤波就会有混叠？

因为提取出来的信号的频谱会以新的采样率fs作为周期进行延长。

2. 为什么降采样时信号频谱会扩展？

这看上去就是问题的根源，其实原因也很容易解释，时间域上的离散化，会导致频域上的周期性；频域上的离散化，会导致时域上的周期性。

首先，假设您要处理的信号如下所示：

假设它在频域中，它看起来像这样：

如果要处理这个信号，首先要经过AD采样，然后转换成数字信号，从时域上看就变成这样了：

按照“时域的离散性意味着频域的周期性”，这里的周期就是指采样频率，也就是上图中T1的倒数。现在频域上的信号和之前不一样了，而是变成了这样：

我们对AD采集到的离散信号进行提取处理，完全可以理解为对离散信号进行“离散处理”：

也就是说，原本具有周期性的频域信号会不断“周期化”，然后再次发生变化：

这是什么鬼？这就是所谓的混叠！所以赶紧在抽取前过滤一下吧。当然，不会这样混到只剩下一个“三角形”了。

当然有聪明的朋友也会问，如果这个三角形底边足够窄（带宽足够小），混叠没有那么严重的话，是不是就不会那么难看了呢？理论上确实存在不加滤波就不会出现混叠这样的情况。

但实际情况是，频域上除了三角波以外，在没有三角波的地方也会有一些杂乱的谐波，噪音等等，所以聪明的信号处理工程师会非常小心，不管怎样都会先滤波！

经过过滤之后，三角形就被切成笋片了，现在如果画一堆的话，就不会那么乱了：

2. 对信号进行上采样时，需要先对信号进行插值（上采样），然后再进行滤波操作。解释：

这里的滤波器叫反镜像滤波器。与抗混叠滤波器不同的是，反镜像滤波器是必选操作，也就是说反镜像滤波操作必须在插值之后进行。这是因为直接插值之后，采样率变大，原始频谱的镜像会出现在其他地方（出现在 K×fs 处）。整个上采样过程如下：

其实插值操作就是在两个信号点之间插入若干个零值，这个过程就导致了频谱的周期性延伸，为了使得插值后的波形依然平滑，需要在插值后进行平滑滤波，因此反镜像滤波其实也可以叫平滑滤波器（个人观点）。理论上，周期性延伸频谱可以通过具体的公式推导出来。为了直观地解释为什么经过相应的插值后会出现高频信号，我们可以观察x(m)，在原来的两点信号中插入若干个零值，这样在实际信号之间，信号就从一个值突然变为零值或者从零值变为某个值。信号的突然变化意味着信号中含有丰富的高频信息（比如图像的边缘、孤立点、矩形波等）。高频频谱就是这样出现的，而高频频谱出现的具体频率需要公式来推导。

3.为什么要进行下采样和上采样？

直接的原因当然是使用高采样率的ADC和DAC。为什么要使用高采样率的ADC和DAC呢？答案是为了降低模拟滤波器（模拟抗混叠滤波器和抗镜像滤波器）的成本。评价滤波器好坏的指标有很多，对于模拟滤波器，很容易知道，过渡带越窄，滤波器越陡峭，阻带衰减越大，滤波器阶数越高。阶数越高意味着模拟滤波器越昂贵，几乎不可能实现。因此，模拟滤波器的过渡带需要设计得更宽，越宽阶数越低，越容易实现，也越便宜。宽的过渡带意味着需要更高采样率的ADC。因此，ADC采样率越高，对模拟前端的设计要求就越低。

参考：